Macroéconomie, L3 · HEC Paris · chapitre 2 · fiche de révision
Pourquoi certains pays sont-ils plus riches que d’autres ?
La réponse du chapitre
Un pays pauvre a moins de capital physique et de capital humain par travailleur ; il utilise surtout moins efficacement ce dont il dispose.
Les causes immédiates
Dans les pays qui produisent moins de la moitié du niveau américain par travailleur, la productivité globale des facteurs explique de 50 à 61 % de l’écart (en logarithme), le capital de 23 à 33 %, le capital humain de 16 à 17 %.
La dynamique
Le capital rapporte de moins en moins. L’épargne et la démographie fixent le niveau vers lequel tend un pays ; elles n’accélèrent la croissance que pendant la transition. Chaque pays converge vers son propre état stationnaire.
Les causes profondes
La croissance durable vient des idées, qui peuvent servir à tous. Les pays pauvres en profitent moins : diffusion lente, mauvaise allocation des ressources, institutions défaillantes.
L’apport de l’économiste
La décomposition des écarts et le poids de chaque facteur ; ce que l’épargne peut faire, et ses limites ; la condition d’une croissance qui dure.
La part du débat
Le poids exact des institutions, de la géographie et de l’histoire dans la PGF, qui reste un résidu ; la capacité des idées à faire baisser assez vite l’intensité en ressources.
1D’où viennent les écarts ?
Les écarts sont immenses : en 2022, en parités de pouvoir d’achat, le PIB par habitant des États-Unis vaut 58 fois celui du Niger (58 487 $ contre 1 008 $). Ils bougent aussi : de 1960 à 2022, la Corée du Sud est passée de 8,6 % à 70,6 % du revenu américain, le Ghana de 12,2 % à 7,3 %.
PIB par habitant de la Corée du Sud et du Ghana, 1950-2022 · en % de celui des États-Unis
Source Maddison Project Database 2023 (Bolt et van Zanden, 2024) : PIB par habitant en dollars internationaux de 2011.
Une fonction de production relie la production aux facteurs. Avec la fonction de Cobb-Douglas, Y = AKα (hL)1−α, soit y = Akαh1−α par travailleur. α est la part du capital dans le revenu : 38 % aux États-Unis et 33 % en France en moyenne de 1950 à 2023. Les formules gardent α ; pour les applications, on retient α = 1/3.
Tout doubler double la production : les rendements d’échelle sont constants. Doubler un seul facteur rapporte moins : × 2α pour le capital, × 21−α pour le capital humain, soit 1,26 et 1,59 avec α = 1/3. Ce sont les rendements décroissants.
Le capital humain compte les années d’études, chacune multipliant l’indice h par 1,07 à 1,14 : un travailleur américain (13,9 années d’études) compte pour 3,8 travailleurs sans instruction, un travailleur nigérien (1,7 année) pour 1,3.
La comptabilité du développement rapporte chaque pays aux États-Unis : y relatif = A relatif × (k relatif)α × (h relatif)1−α. Elle calcule la contribution de chaque facteur, puis la PGF par différence. Au Niger, avec α = 1/3 : 0,0325 = 0,325 × 0,476 × 0,210. En logarithme, la PGF pèse 46 % de l’écart, le capital 33 %, le capital humain 22 %. La PGF est un résidu : elle mesure aussi ce que l’on mesure mal, comme la qualité de l’éducation.
2Pourquoi ne pas simplement accumuler du capital ?
Le produit marginal du capital, ce que rapporte chaque année un dollar de capital en plus, vaut α y / k ; celui du travail, (1 − α) y. Payés à leur produit marginal, le capital reçoit la part α du revenu et le travail la part 1 − α. Le produit marginal du capital diminue quand le capital augmente seul : avec α = 1/3, huit fois plus de machines ne font que doubler la production (81/3 = 2).
À technologie égale, le capital rapporterait bien plus là où il est rare : avec 29 fois moins de capital par travailleur que les États-Unis, le Niger aurait un produit marginal 9,5 fois plus élevé (29,22/3 = 9,5).
Mesuré avec la production et le capital observés, il est du même ordre partout : 9,8 % au Niger, 10,3 % aux États-Unis. Une PGF et un capital humain plus faibles réduisent ce que rapporte une machine : le capital ne se précipite pas vers les pays pauvres (paradoxe de Lucas, 1990).
La Corée du Sud a porté son investissement de 11 % de son PIB en 1960 à 50 % en 1996 ; la croissance de son PIB par habitant est passée de 8,6 % par an dans les années 1980 à 2,3 % depuis 2010. Accumuler enrichit, de moins en moins vite.
S’entraîner savoir-faire 2.1, 2.2 et 2.3 · exercices 2 et 7
3Jusqu’où l’épargne mène-t-elle un pays ?
Le capital par travailleur évolue selon Δk = sy − (n + δ) k : l’investissement, moins l’usure (δ, environ 4 % par an) et la dilution par la croissance de la population (n : 0,2 % par an en France, 3,3 % au Niger en 2023).
À l’état stationnaire, l’investissement compense l’usure et la dilution : sy* = (n + δ) k*, donc k*/y* = s / (n + δ). Avec s = 20 % et n + δ = 6 %, 0,20 / 0,06 = 3,3 années de production ; aux États-Unis, 3,2 en 2023.
Avec y = Akα, y* = A1/(1−α) (s / (n + δ))α/(1−α), soit A3/2 (s / (n + δ))1/2 avec α = 1/3. Doubler l’épargne multiplie la production de long terme par 1,41 ; doubler la PGF, par 2,83, parce qu’elle attire aussi du capital. La croissance n’est plus forte que pendant la transition : l’épargne a un effet de niveau.
À PGF égale, l’épargne et la démographie du Niger le placeraient à 72 % du niveau américain par travailleur ; il en est à 3,3 %. Elles n’expliquent qu’une petite partie des écarts.
Le modèle prédit une convergence conditionnelle : chaque pays tend vers son propre état stationnaire. Parmi les membres fondateurs de l’OCDE, un pays deux fois plus pauvre en 1960 a crû de 0,66 point de plus par an jusqu’en 2022 ; dans le monde, de 1960 à 2000, les pays pauvres n’ont pas crû plus vite que les riches.
S’entraîner savoir-faire 3.1, 3.2, 3.3 et 3.4 · exercices 4, 9 et 10
4D’où vient la croissance qui ne s’arrête pas ?
Sans progrès technique, la croissance du modèle de Solow s’éteint. Avec une PGF qui croît de gA par an, l’économie suit un sentier de croissance équilibrée : production et capital par travailleur croissent de gA / (1 − α), soit 1,5 gA avec α = 1/3, et leur rapport reste constant. Aux États-Unis, le PIB par habitant croît d’environ 1,7 % par an depuis 1870 : il a été multiplié par 12 en 152 ans.
La productivité avance par vagues : aux États-Unis, la productivité horaire a crû de 2,3 % par an de 1890 à 1972 (électricité, moteur à combustion, chimie), de 2,5 % de 1996 à 2004 (numérique), de 1,3 % depuis.
Croissance annuelle moyenne de la productivité horaire aux États-Unis, par période · % par an
Source Long-Term Productivity Database v2.7 (Bergeaud, Cette et Lecat) : PIB par heure travaillée ; périodes de Gordon (2012) ; estimations du XIXe siècle plus incertaines.
Les idées sont non rivales : doubler travailleurs et machines double la production ; doubler aussi les idées la multiplie par 4. Elles sont de plus en plus difficiles à trouver : pour doubler la densité des puces électroniques, il fallait en 2014 dix-huit fois plus de chercheurs qu’en 1971.
Les pays pauvres profitent moins des idées : 45 ans en moyenne entre l’invention d’une technologie et son adoption, une mauvaise allocation des ressources (la productivité industrielle de la Chine et de l’Inde serait de 30 à 60 % plus élevée avec une allocation aussi efficace qu’aux États-Unis), des institutions défaillantes. Sur la même île, le revenu par habitant de la République dominicaine valait 11,5 fois celui d’Haïti en 2022 ; Haïti était pourtant un peu plus riche en 1950.
Une croissance sans fin dans un monde fini suppose une intensité en ressources qui baisse au moins aussi vite que le PIB croît : gE ≈ gY + gE/Y. En France, l’intensité en émissions a baissé de 2,7 % par an de 1990 à 2025.
S’entraîner savoir-faire 4.1, 4.2, 4.3 et 4.4 · exercices 8 et 11
Chiffres à retenir
≈ × 60
PIB par habitant des États-Unis rapporté à celui du Niger (2022)
en parités de pouvoir d’achat : × 58 ; Burundi : × 82
α ≈ 1/3
part du capital dans le revenu
38 % aux États-Unis, 33 % en France (1950-2023)
≈ la moitié
part de la PGF dans l’écart de production par travailleur, en logarithme
capital : un quart à un tiers ; capital humain : un sixième
K ≈ 3 Y
capital d’un pays riche : environ trois années de production
États-Unis : K / Y = 3,24 (2023)
≈ 1,7 % par an
croissance du PIB par habitant des États-Unis depuis 1870
doublement en 70 / 1,7 ≈ 41 ans
1
Le Botswana est passé de 3,1 % à 28 % du revenu par habitant américain de 1960 à 2022 : son revenu par habitant a donc été multiplié par 9 environ.
Son niveau relatif a été multiplié par 9, mais le revenu américain a lui-même été multiplié par 3,2 : 28 / 3,1 × 3,2 = 29. Le revenu du Botswana a été multiplié par 29 (16 352 $ contre 564 $).
Sur un graphique en échelle logarithmique, la distance verticale entre 1 000 $ et 2 000 $ est la même qu’entre 30 000 $ et 60 000 $.
Chaque doublement ajoute la même hauteur, 100 × ln 2 = 69 points de logarithme. Une grandeur qui croît à taux constant y suit donc une droite, comme à peu près le PIB par habitant américain, qui croît d’environ 1,7 % par an depuis 1870.
Le Niger a 29 fois moins de capital par travailleur que les États-Unis : cela suffit à expliquer qu’il produise 31 fois moins par travailleur.
À lui seul, l’écart de capital ne divise la production que par 3 : avec α = 1/3, 0,0343α = 0,03431/3 = 0,325. En logarithme, le capital explique 33 % de l’écart, le capital humain 22 % et la PGF, la plus grande part, 46 %.
Dans les pays qui produisent moins de la moitié du niveau américain par travailleur, la productivité globale des facteurs explique environ la moitié de l’écart de production, en logarithme.
De 50 à 61 % selon le groupe de pays, contre 23 à 33 % pour le capital et 16 à 17 % pour le capital humain (Penn World Table 11.0, 2023). Calculée par différence, la PGF mesure aussi ce que l’on mesure mal.
À PGF et capital humain égaux, un dollar investi dans un pays qui a 27 fois moins de capital par travailleur rapporte 9 fois plus.
Le produit marginal du capital vaut α y / k. Avec α = 1/3 et 27 fois moins de capital, la production n’est que 271/3 = 3 fois plus faible : le rapport y / k est 27 / 3 = 9 fois plus élevé.
Puisque le capital y est 29 fois plus rare, un dollar de capital rapporte beaucoup plus au Niger qu’aux États-Unis.
Mesuré avec la production et le capital observés, le produit marginal du capital est de 9,8 % au Niger et de 10,3 % aux États-Unis. La PGF et le capital humain, bien plus faibles au Niger, réduisent ce que rapporte chaque machine : c’est le paradoxe de Lucas.
Dans le modèle de Solow sans progrès technique, un pays qui porte son taux d’épargne de 20 % à 30 % croît plus vite tant qu’il garde ce taux.
Sa production de long terme est multipliée par (0,30 / 0,20)α/(1−α) = 1,51/2 = 1,22 avec α = 1/3. La croissance est plus forte pendant la transition, puis revient à zéro : l’épargne a un effet de niveau, sans effet durable sur la croissance.
Un pays qui investit 20 % de sa production, dont la population croît de 1 % par an et dont le capital s’use de 4 % par an, finit avec un capital égal à 4 années de production.
À l’état stationnaire, k*/y* = s / (n + δ) = 0,20 / 0,05 = 4. Aux États-Unis, le capital vaut 3,2 années de production (2023).
Avec y = Akα et α = 1/3, si la PGF croît de 1 % par an, la production par travailleur croît de 1,5 % par an sur le sentier de croissance équilibrée.
gy = gA / (1 − α) = 1 / (2/3) = 1,5 % par an. Le capital croît au même rythme : la PGF accroît la production, donc l’investissement et le capital, qui accroît à son tour la production.
Doubler à la fois le nombre de travailleurs, les machines et les idées ne fait que doubler la production.
Avec Y = AKαL1−α, doubler K et L double Y ; doubler aussi A la multiplie par 2 × 2 = 4. Une idée n’a pas besoin d’être recopiée pour chaque usine : elle est non rivale, et les rendements d’échelle deviennent croissants.
Règle et exempleg = (XT / X0)1/T − 1 ; temps de doublement ≈ 70 / g, avec g en pour cent. Corée du Sud, 1960-2022 : 41 321 / 1 548 = 26,7, soit 26,71/62 − 1 = 5,44 % par an ; doublement en 70 / 5,44 = 13 ans.
Piège Diviser la hausse totale par le nombre d’années : (26,7 − 1) / 62 = 41 % par an, beaucoup trop.
Règle et exemple Le revenu d’un pays est son niveau relatif multiplié par le revenu américain : les facteurs de hausse se multiplient. Botswana, 1960-2022 : de 3,1 % à 28 % du niveau américain, pendant que le revenu américain était multiplié par 3,2 : 28 / 3,1 × 3,2 = × 29.
Piège Prendre la hausse du niveau relatif (× 9) pour celle du revenu : le pays de référence s’enrichit aussi.
Règle et exemple Écart = 100 × ln(xA / xB) points de logarithme, proche de l’écart en pour cent quand il est petit ; ces écarts s’additionnent quand les grandeurs se multiplient. En échelle logarithmique, des rapports égaux donnent des hauteurs égales (un doublement : 100 × ln 2 = 69 points) et une croissance à taux constant donne une droite.
Piège Additionner des écarts en pour cent : 0,930 × 0,889 × 0,880 − 1 = −27 %, alors que −7 − 11 − 12 = −30 % (France et États-Unis, chapitre 1). Ou lire une échelle logarithmique comme une échelle linéaire.
Règle et exempleCapital physiquek : machines, bâtiments, infrastructures, par travailleur. Capital humainh = eφ(s) : chaque année d’études le multiplie par 1,14 (quatre premières années), 1,11 (quatre suivantes), puis 1,07. Productivité globale des facteursA : l’efficacité avec laquelle un pays combine ses facteurs, calculée par différence.
Piège Compter les années d’études comme des montants qui s’ajoutent, alors que chacune multiplie l’indice ; oublier que l’indice compte des années passées à l’école, sans mesurer ce qu’on y apprend.
Règle et exempleY = AKα (hL)1−α, soit y = Akαh1−α par travailleur, où α, entre 0 et 1, est la part du capital dans le revenu (α = 1/3 pour les applications). Tout doubler double la production (rendements d’échelle constants) ; doubler le seul capital la multiplie par 2α, soit 21/3 = 1,26 avec α = 1/3 (rendements décroissants).
Piège Confondre rendements d’échelle (tous les facteurs augmentent) et rendement d’un seul facteur ; multiplier par l’exposant au lieu d’élever à la puissance.
Règle et exemple ln y relatif = ln A relatif + α ln k relatif + (1 − α) ln h relatif : la part d’un facteur est le logarithme de sa contribution divisé par celui de la production relative. Niger, avec α = 1/3 : capital ln 0,325 / ln 0,0325 = 33 %, capital humain 22 %, PGF 46 %.
Piège Répartir l’écart avec des écarts en pour cent, qui ne s’additionnent pas ; prendre le logarithme du capital relatif au lieu de celui de sa contribution.
2Pourquoi ne pas simplement accumuler du capital ?
Règle et exemple Capital par travailleur multiplié par m, le reste inchangé : production multipliée par mα. Avec α = 1/3, huit fois plus de capital : 81/3 = 2 ; vingt-sept fois moins : (1/27)1/3 = 1/3.
Piège Croire que la production suit le capital : chaque machine ajoutée rapporte moins que la précédente.
Règle et exemple Produit marginal du capital : PMK = ∂Y / ∂K = α Y / K = α y / k, ce que rapporte chaque année, avant usure, un dollar de capital en plus. Produit marginal du travail : PML = ∂Y / ∂L = (1 − α) Y / L = (1 − α) y. Payés à leur produit marginal, le capital reçoit α Y et le travail (1 − α) Y. À PGF et capital humain donnés, PMK varie comme kα−1 : avec α = 1/3 et 27 fois moins de capital, 272/3 = 9 fois plus élevé.
Piège Oublier le facteur α (ou 1 − α), ou comparer des pays comme s’ils avaient la même PGF.
Règle et exemple À technologie américaine, le produit marginal du capital du Niger serait de 97,8 % ; mesuré avec la production et le capital observés, il est de 9,8 %, contre 10,3 % aux États-Unis. Une PGF et un capital humain plus faibles réduisent ce que rapporte une machine ; les risques d’expropriation et d’instabilité aussi.
Piège Conclure que le capital rapporte forcément davantage là où il est rare.
Règle et exemple Δk = sy − (n + δ) k : l’investissement, moins l’usure et la dilution. Avec y = 50, k = 150, s = 20 %, δ = 5 % et n = 1 % : 0,20 × 50 − 0,06 × 150 = 10 − 9 = +1.
Piège Oublier la dilution : quand la population croît, il faut équiper chaque année de nouveaux travailleurs.
Règle et exemplesy* = (n + δ) k*, donc k*/y* = s / (n + δ). Avec y = Akα : k* = (sA / (n + δ))1/(1−α) et y* = A1/(1−α) (s / (n + δ))α/(1−α). Avec α = 1/3, les exposants valent 3/2 et 1/2 ; avec s = 20 %, n + δ = 5 % et A = 1 : k* = 43/2 = 8 et y* = 81/3 = 2.
Piège Oublier l’exposant 1/(1 − α) de la PGF, 3/2 avec α = 1/3 : elle agit directement, et par le capital qu’elle attire.
Règle et exemple Épargne doublée : y* × 2α/(1−α), soit 21/2 = × 1,41 avec α = 1/3 ; PGF doublée : y* × 21/(1−α), soit 23/2 = × 2,83. La croissance est plus forte pendant la transition, puis revient à son rythme de long terme, nul sans progrès technique.
Piège Croire qu’un pays qui épargne davantage croît plus vite pour toujours.
Règle et exemple Convergence absolue : les pays pauvres croissent plus vite que les riches. Conditionnelle : un pays croît d’autant plus vite qu’il est loin de son propre état stationnaire. Membres fondateurs de l’OCDE, pente de −0,95 : un pays deux fois plus pauvre en 1960 a crû de 0,95 × 0,693 = 0,66 point de plus par an.
Piège Juger le modèle de Solow démenti parce que les pays pauvres ne rattrapent pas tous : il prédit une convergence conditionnelle.
Règle et exemple Sans progrès technique, les rendements décroissants mènent à l’état stationnaire. Si la PGF croît de gA par an, gy = gA + α gk et, sur le sentier équilibré, gk = gy : y et k croissent de gA / (1 − α), et k / y reste constant. Avec α = 1/3 et une PGF à 1 % par an : 1 / (1 − ⅓) = 1,5 % par an.
Piège Attribuer la croissance de long terme à l’épargne, qui ne fixe que le niveau du sentier.
Règle et exemple Une idée peut servir à tous en même temps. Avec Y = AKαL1−α : doubler K et L double Y (2α × 21−α = 2) ; doubler aussi A la multiplie par 2 × 2 = 4 (rendements d’échelle croissants). La croissance dépend alors de l’effort de recherche.
Piège Traiter une idée comme une machine, qu’il faudrait recopier pour chaque utilisateur.
Règle et exemplegE ≈ gY + gE/Y : les émissions, ou les ressources utilisées, baissent si l’intensité baisse plus vite que le PIB n’augmente. À 2 % par an pendant un siècle, le PIB est multiplié par 1,02100 = 7,24 : l’intensité doit être divisée par autant.
Piège Croire que le PIB réel ne peut croître qu’en utilisant davantage de matière : il croît aussi avec la qualité et les services.
Règle et exemple Diffusion lente : 45 ans en moyenne entre l’invention d’une technologie et son adoption (Comin et Hobijn, 2010). Mauvaise allocation : +30 à 60 % de productivité industrielle en Chine et en Inde avec une répartition du capital et du travail aussi efficace qu’aux États-Unis (Hsieh et Klenow, 2009). Institutions : sur la même île, la République dominicaine est 11,5 fois plus riche qu’Haïti (2022).
Piège Croire qu’une technologie disponible partout est utilisée partout aussi efficacement.
Le PIB par habitant des États-Unis est passé de 4 803 $ en 1870 à 15 240 $ en 1950, puis à 58 487 $ en 2022. Celui de la Corée du Sud est passé de 1 548 $ en 1960 à 41 321 $ en 2022 (dollars internationaux de 2011, en parités de pouvoir d’achat).
a
Quel est l’écart, en points de logarithme, entre le PIB par habitant américain de 2022 et celui de 1870 ? À combien de doublements successifs correspond-il ?
b
Sur un graphique en échelle logarithmique, de combien de points par an monte, en moyenne, la courbe américaine de 1870 à 2022 ? Comparez au taux de croissance annuel moyen.
c
Mêmes calculs pour la Corée du Sud, de 1960 à 2022. Pourquoi l’écart entre la pente et le taux de croissance est-il plus grand ?
d
Sur l’axe vertical d’un graphique en échelle logarithmique, quelle distance, en points de logarithme, sépare 1 000 $ de 2 000 $ ? Et 30 000 $ de 60 000 $ ?
e
De combien de points par an monte la courbe américaine de 1870 à 1950, puis de 1950 à 2022 ? En échelle linéaire, la courbe paraît bien plus raide après 1950 : est-ce justifié ?
Source Maddison Project Database 2023 (Bolt et van Zanden, 2024) : PIB par habitant en dollars internationaux de 2011.
La production par travailleur d’un pays suit la fonction de Cobb-Douglas y = Akαh1−α, avec α = 1/3, où k est le capital physique par travailleur, h l’indice de capital humain et A la productivité globale des facteurs (PGF).
De 1950 à 2023, la part du capital dans le revenu (profits, intérêts, loyers et usure du capital) a été en moyenne de 38 % aux États-Unis et de 33 % en France.
a
Par combien la production par travailleur est-elle multipliée si l’on double le capital par travailleur, le reste inchangé ? Si l’on double le capital humain ? Si l’on double la PGF ?
b
Une entreprise double à la fois ses machines et ses effectifs, formés comme les autres travailleurs. Par combien sa production est-elle multipliée ? Comment appelle-t-on cette propriété ?
c
Le capital par travailleur est multiplié par 8, le reste inchangé. Que devient la production ? Et s’il est divisé par 27 ?
d
Que vaut α si les salaires représentent les deux tiers du revenu ? Avec la part moyenne du capital aux États-Unis, 38 %, par combien doubler le capital multiplierait-il la production ?
e
Qu’est-ce qui augmente le plus la production par travailleur : 10 % de capital physique en plus, ou 10 % de capital humain en plus ?
Source Exemple. Parts du capital : Penn World Table 11.0, moyennes annuelles de 1 − part du travail (labsh), 1950-2023.
La Penn World Table mesure le capital humain par travailleur avec l’indice h = eφ(s), où s est le nombre moyen d’années d’études de la population adulte. φ(s) augmente de 0,134 par année pour les quatre premières années d’études, de 0,101 pour chacune des quatre suivantes et de 0,068 au-delà.
2023
Niger
Inde
États-Unis
Années d’études, en moyenne
1,7
6,9
13,9
a
Calculez φ(s), puis l’indice h, pour le Niger et pour les États-Unis.
b
Que signifie, pour l’indice h, une hausse de φ de 0,134 ? Et de 0,101 et de 0,068 ?
c
Calculez le capital humain du Niger en proportion de celui des États-Unis, puis sa contribution à l’écart de production par travailleur, (h relatif)1−α, avec α = 1/3.
d
Si le Niger atteignait les années d’études de l’Inde, de combien sa production par travailleur augmenterait-elle, capital physique et PGF inchangés ?
e
Pourquoi cet indice sous-estime-t-il probablement l’écart de capital humain entre pays riches et pays pauvres ?
Source Penn World Table 11.0, 2023 : indice de capital humain (hc) ; années d’études déduites de l’indice par la formule de la PWT (années d’études de Barro et Lee, ou de Cohen et Leker ; rendements de Psacharopoulos, 1994).
Dans une économie fermée, la production par travailleur est y = kα, avec α = 1/3 (A = 1 et h = 1, unités arbitraires). L’économie épargne et investit 24 % de sa production ; le capital s’use au taux δ = 5 % par an ; le nombre de travailleurs croît de 1 % par an.
a
Le capital par travailleur vaut k = 1. Calculez la production, l’investissement, l’usure, la dilution, puis la variation du capital par travailleur Δk.
b
Même calcul pour k = 27.
c
Calculez le capital et la production par travailleur de l’état stationnaire, puis k*/y*. Vérifiez qu’à l’état stationnaire, l’investissement compense exactement l’usure et la dilution.
d
La population se met à croître de 3,3 % par an, comme celle du Niger en 2023. Que deviennent k* et y* ? De combien la production de long terme baisse-t-elle ?
e
Pourquoi le capital par travailleur ne peut-il pas croître sans fin dans cette économie ?
Source Exemple. Croissance de la population du Niger en 2023 : ONU, World Population Prospects 2024.
Par combien le revenu par habitant de la Corée du Sud, du Ghana et des États-Unis a-t-il été multiplié de 1960 à 2022 ? Quel taux de croissance annuel moyen cela représente-t-il ?
b
Avec la règle des 70, en combien d’années le revenu double-t-il à chacun de ces trois rythmes ?
c
Exprimez le revenu par habitant de la Corée du Sud, du Ghana, du Botswana et du Niger en % de celui des États-Unis, en 1960 et en 2022. Qui rattrape les États-Unis, qui décroche ?
d
Retrouvez la multiplication du revenu du Botswana à partir de ses seuls niveaux relatifs et de la multiplication du revenu américain. Comparez au calcul direct.
e
À son rythme de 1960-2022, combien d’années faudrait-il au Ghana pour atteindre le revenu de la Corée du Sud en 2022 ?
Source Maddison Project Database 2023 (Bolt et van Zanden, 2024) : PIB par habitant en dollars internationaux de 2011.
Dollars en parités de pouvoir d’achat. Fonction de production : y = Akαh1−α, avec α = 1/3.
a
Calculez, pour chaque pays, la production, le capital physique et le capital humain par travailleur en proportion de ceux des États-Unis.
b
Calculez la contribution du capital physique et celle du capital humain, puis la PGF de chaque pays en proportion de celle des États-Unis.
c
Pour l’Inde, répartissez l’écart de production avec les États-Unis entre les trois facteurs, en logarithme.
d
La Corée du Sud investit massivement depuis les années 1960. Que montre sa décomposition ?
e
Quelle serait la production par travailleur de chaque pays, en % de celle des États-Unis, avec la PGF américaine et ses propres facteurs ?
Source Penn World Table 11.0, 2023 : production (cgdpo) et capital (cn) en dollars PPA courants, rapportés à l’emploi ; indice de capital humain (hc). α = 1/3.
Dollars en parités de pouvoir d’achat. Fonction de production : y = Akαh1−α, avec α = 1/3. Le produit marginal du capital mesure ce que rapporte, chaque année et avant usure, un dollar de capital en plus ; celui du travail, ce que rapporte un travailleur de plus.
a
Calculez le produit marginal du capital dans chaque pays, avec la production et le capital observés.
b
Supposons que le Niger ait la PGF et le capital humain des États-Unis, avec son propre capital par travailleur. Quelle serait sa production par travailleur ? Son produit marginal du capital ?
c
Combien de fois ce produit marginal hypothétique dépasse-t-il celui des États-Unis ? Retrouvez ce rapport à partir des seuls capitaux par travailleur.
d
Le produit marginal observé au Niger est environ dix fois plus faible que le produit marginal hypothétique. Quels facteurs expliquent cet écart ? Vérifiez-le avec la PGF relative du Niger, 0,21, et son capital humain relatif, 0,33.
e
Si le calcul de la question b décrivait la réalité, où iraient les capitaux du monde ? Qu’observe-t-on, et pourquoi ?
f
Calculez le produit marginal du travail, (1 − α) y, dans chaque pays, avec la production observée. Si chaque travailleur est payé ce qu’il rapporte, que suggère leur rapport sur les salaires ? Comparez avec ce que vous avez trouvé pour le capital.
Source Penn World Table 11.0, 2023 : production (cgdpo) et capital (cn) par emploi, en milliers de dollars PPA courants ; PGF et capital humain relatifs du Niger issus de la comptabilité du développement (α = 1/3). Calcul à technologie américaine : exemple.
Savoir-faire 0.1, 4.1, 4.2, 4.3 · données et exemple
États-Unis, milliers de dollars de 2020 par habitant
1950
2024
PIB
17,01
72,35
Capital (bâtiments et équipements)
70,55
234,35
Dans le modèle de Solow avec progrès technique, y = Akα, avec α = 1/3, et la PGF croît au taux gA : l’économie tend vers un sentier de croissance équilibrée, où y et k croissent au rythme gA / (1 − α).
a
Calculez les taux de croissance annuels moyens du PIB et du capital par habitant de 1950 à 2024, puis le rapport capital / production en 1950 et en 2024.
b
Quelle croissance de la PGF faut-il pour que la production par travailleur croisse de 2 % par an sur le sentier équilibré ? Que devient alors le rapport capital / production ?
c
Si la PGF cesse de croître, que devient la croissance de long terme ? Pourquoi ?
d
Avec Y = AKαL1−α, par combien la production est-elle multipliée si l’on double K et L ? Si l’on double aussi A ? Pourquoi peut-on doubler A sans le payer deux fois ?
e
Le PIB par habitant croît de 1,5 % par an pendant un siècle. Par combien est-il multiplié ? Par combien l’intensité en émissions doit-elle être divisée pour que les émissions ne changent pas, et à quel rythme annuel ? La France l’a réduite de 2,7 % par an de 1990 à 2025 : à ce rythme, ses émissions baisseraient-elles ?
Source Long-Term Productivity Database v2.7 (Bergeaud, Cette et Lecat) : PIB et capital par habitant des États-Unis, en dollars de 2020 PPA. Intensité en émissions de la France : Citepa (Secten 2026) et Insee, données du chapitre 1. Modèle : exemple.
On suppose un taux de dépréciation de 4 % par an dans les deux pays. Dans le modèle de Solow avec y = Akα, la production par travailleur de l’état stationnaire vaut y* = A1/(1−α) (s / (n + δ))α/(1−α), soit, avec α = 1/3, A3/2 (s / (n + δ))1/2.
a
À PGF égale, que vaudrait la production par travailleur du Niger à l’état stationnaire, en % de celle des États-Unis ? Comparez avec la production observée.
b
Le Niger porte son taux d’investissement à 30 %. Par combien sa production de long terme est-elle multipliée ? Sa croissance de long terme change-t-elle ?
c
La croissance de sa population ralentit à 1 % par an. Par combien sa production de long terme est-elle multipliée ? Et si les deux changements ont lieu ensemble ?
d
Sa PGF double. Par combien sa production de long terme est-elle multipliée ? Pourquoi davantage que par deux ?
e
Rédigez en cinq à huit lignes une réponse argumentée : le Niger peut-il s’enrichir en épargnant davantage ?
Source Taux d’investissement : Penn World Table 11.0 (csh_i, 2023, prix PPA). Croissance de la population : ONU, World Population Prospects 2024. Production et PGF relatives : Penn World Table 11.0, comptabilité du développement (α = 1/3). Dépréciation : hypothèse, proche de la médiane des pays de la Penn World Table (4,4 %).
Pour les 18 membres fondateurs de l’OCDE de plus d’un million d’habitants, la droite des moindres carrés qui relie la croissance annuelle moyenne de 1960 à 2022 (en points de pourcentage) au logarithme du revenu de 1960 a une pente de −0,95. Pour 130 pays du monde, en reliant la croissance au logarithme du revenu en début de période, la pente vaut +0,42 de 1960 à 2000 et −0,26 de 2000 à 2022.
a
Dans le tableau, les pays les plus pauvres en 1960 ont-ils crû plus vite ? La relation est-elle parfaite ?
b
En 1960, combien de fois le revenu par habitant des États-Unis dépassait-il celui du Portugal ? Combien de fois en 2022, compte tenu des taux de croissance ?
c
D’après la pente de −0,95, de combien de points par an un membre fondateur deux fois plus pauvre qu’un autre en 1960 a-t-il crû plus vite ? Et un pays quatre fois plus pauvre ?
d
Faites le même calcul pour un pays deux fois plus pauvre qu’un autre, dans le monde entier, de 1960 à 2000 puis de 2000 à 2022. Que concluez-vous ?
e
À 0,18 point de croissance en plus par an, combien de temps faudrait-il pour réduire de moitié un écart de revenu ?
f
Comment le modèle de Solow explique-t-il que les pays pauvres rattrapent les riches dans l’OCDE, et pas dans le monde entier ?
Source Maddison Project Database 2023 : PIB par habitant en dollars de 2011. Droites des moindres carrés calculées pour le cours : membres fondateurs de l’OCDE (1961) de plus d’un million d’habitants, sans l’Islande ni le Luxembourg ; pays de plus d’un million d’habitants, hors monarchies pétrolières du Golfe.
Les deux pays se partagent l’île d’Hispaniola. Dans la Penn World Table, selon la mesure retenue, le revenu par habitant dominicain valait en 1960 de 1,5 à 2,1 fois celui d’Haïti. Une étude du FMI (Jaramillo et Sancak, 2009) trouve que la PGF haïtienne a reculé au cours de chacune des quatre décennies de 1960 à 2000, au fil des coups d’État, de l’embargo des années 1990 et de politiques défaillantes.
a
Calculez le taux de croissance annuel moyen de chaque pays de 1950 à 2022, puis le rapport des deux revenus en 1950 et en 2022. Quel serait le revenu d’Haïti en 2022 s’il avait crû au rythme dominicain ?
b
Avec le second tableau et y = Akαh1−α (α = 1/3), calculez la production, le capital et le capital humain par travailleur de la République dominicaine en proportion de ceux d’Haïti, les contributions des deux capitaux, puis la PGF dominicaine en proportion de celle d’Haïti.
c
Répartissez l’écart de production par travailleur entre les deux pays entre capital, capital humain et PGF, en logarithme.
d
Les deux pays partagent une île, un climat et une partie de leur histoire. Quelles causes peut-on avancer pour l’écart de PGF ?
e
Rédigez en cinq à huit lignes ce que cet exemple apprend sur la question du chapitre, en signalant les limites de la comparaison.
Source Maddison Project Database 2023 : PIB par habitant en dollars de 2011. Penn World Table 11.0, 2023 : production (cgdpo) et capital (cn) par emploi, en dollars PPA courants ; indice de capital humain (hc) ; rapports de 1960 (rgdpe et rgdpna). L. Jaramillo et C. Sancak, « Why Has the Grass Been Greener on One Side of Hispaniola? », IMF Staff Papers, 2009.
Un revenu qui croît au taux constant g par an double en T années, avec (1 + g)T = 2. Le cours utilise la règle des 70 : T ≈ 70 / g, avec g en pour cent.
a
Montrez que T = ln 2 / ln(1 + g). Calculez T pour des taux de 1 %, 2 %, 7 % et 10 % par an.
b
Avec l’approximation ln(1 + g) ≈ g, retrouvez la règle des 70. Comparez ses résultats aux valeurs de la question a : quand se trompe-t-elle le plus ?
c
Pour un taux de 8 %, calculez le produit T × g, avec g en pour cent. Pourquoi certains préfèrent-ils une « règle des 72 » pour des taux de 6 à 10 % ?
d
Un pays croît de 7 % par an pendant 30 ans. Par combien son revenu est-il multiplié ? Retrouvez l’ordre de grandeur en comptant les doublements.
Dans le modèle de Solow, y = kα (A = h = 1) et n + δ = 6 %. Ce qui n’est pas épargné est consommé : la consommation par travailleur vaut c = (1 − s) y. À l’état stationnaire, y* = (s / (n + δ))α/(1−α), soit (s / (n + δ))1/2 avec α = 1/3, la valeur des applications numériques.
a
Avec α = 1/3, calculez la production et la consommation par travailleur de l’état stationnaire pour un taux d’épargne de 20 %, d’un tiers et de 50 %.
b
Pourquoi la consommation de long terme n’augmente-t-elle pas sans fin avec le taux d’épargne ?
c
Montrez que c* = (1 − s) (s / (n + δ))α/(1−α) est la plus élevée pour s = α, en dérivant ln c* par rapport à s. Ce taux d’épargne est appelé la « règle d’or ».
d
Vérifiez qu’à la règle d’or, s = α, le produit marginal du capital de l’état stationnaire est égal à n + δ, en général, puis avec α = 1/3. Interprétez.
e
La Chine investit 43 % de son PIB, et la part du capital dans son revenu est de 44 %. Selon la règle d’or, épargne-t-elle trop ? Quelles réserves faut-il faire ?
Source Taux d’investissement (csh_i) et part du capital (1 − labsh) de la Chine : Penn World Table 11.0, 2023. Le reste est un exemple. E. Phelps, « The Golden Rule of Accumulation », American Economic Review, 1961.
Près de son état stationnaire, une économie du modèle de Solow réduit chaque année d’une même fraction λ l’écart, en logarithme, entre sa production et celle de son état stationnaire, avec λ = (1 − α) (n + δ) ; on l’admet ici. Un écart de x0 points de logarithme devient x0 e−λt au bout de t années.
Pour les 18 membres fondateurs de l’OCDE, la droite des moindres carrés qui relie la croissance annuelle moyenne de 1960 à 2022 (en points de pourcentage) au logarithme du revenu de 1960 a une pente de −0,95 (exercice 10).
a
Calculez λ pour α = 1/3 et n + δ = 6 %. En combien d’années l’écart est-il divisé par deux ?
b
Un pays démarre à 50 points de logarithme sous son état stationnaire. Quel écart lui reste-t-il au bout de 62 ans ? De combien de points par an a-t-il crû, en moyenne, plus vite que son état stationnaire ?
c
Montrez que sur T années, la croissance annuelle moyenne d’un pays dépasse celle de son état stationnaire de x0 (1 − e−λT) / T. Si tous les pays ont le même état stationnaire, quelle pente de la droite de convergence le modèle prédit-il pour λ = 4 % et T = 62 ?
d
La pente observée vaut −0,95. Quelle vitesse λ en déduit-on ? Quelle est la demi-vie correspondante ?
e
Si l’on compte comme capital le capital physique et le capital humain, la part des facteurs accumulables, qui joue le rôle de α, est plutôt de 2/3. Que deviennent λ et la demi-vie ? Concluez.
Source Pente de convergence : Maddison Project Database 2023, droite des moindres carrés calculée pour le cours (exercice 10). R. Barro et X. Sala-i-Martin, « Convergence », Journal of Political Economy, 1992 ; N. G. Mankiw, D. Romer et D. N. Weil, « A Contribution to the Empirics of Economic Growth », Quarterly Journal of Economics, 1992.
La comptabilité du cours écrit y = Akαh1−α, avec α = 1/3. Robert Hall et Charles Jones (1999) proposent une autre écriture, qui fait apparaître le rapport capital / production k / y.
a
Avec la décomposition du cours, calculez les contributions du capital et du capital humain, la PGF du Mexique en proportion de celle des États-Unis, puis la part de chacun dans l’écart de production, en logarithme.
b
Montrez que y = A1/(1−α) (k / y)α/(1−α)h, soit y = A3/2 (k / y)1/2h avec α = 1/3.
c
Calculez le rapport k / y du Mexique en proportion de celui des États-Unis, puis les trois termes de cette écriture et leur part dans l’écart de production, en logarithme.
d
Pourquoi la part de la PGF est-elle plus grande dans la seconde écriture ? Aidez-vous du modèle de Solow, où k*/y* = s / (n + δ).
Source Penn World Table 11.0, 2023 : production (cgdpo) et capital (cn) par emploi, indice de capital humain (hc), en proportion des États-Unis ; α = 1/3. R. Hall et C. I. Jones, « Why Do Some Countries Produce So Much More Output per Worker than Others? », Quarterly Journal of Economics, 1999.
Sur un sentier de croissance équilibrée, la production et le capital par travailleur croissent au même taux g ; la population croissant au taux n, le capital total K croît d’environ n + g par an. Il évolue selon ΔK = sY − δ K.
États-Unis, 2023
Valeur
Taux d’investissement s
23,1 % du PIB
Croissance de la population n
0,58 % par an
Taux de dépréciation δ
4,8 % par an
Rapport capital / production K / Y
3,24
a
Montrez que, sur le sentier de croissance équilibrée, K / Y = s / (n + g + δ).
b
Calculez K / Y aux États-Unis sans progrès technique (g = 0), puis avec g = 1,5 % par an. Comparez avec le rapport observé.
c
Quel taux g rendrait la formule exacte avec les données de 2023 ?
d
Que devient K / Y si la croissance par travailleur ralentit à 0,5 % par an ? Et si, de plus, la population cesse de croître ? Pourquoi un pays dont la croissance ralentit a-t-il plus de capital par rapport à sa production ?
Source Penn World Table 11.0, 2023 : taux d’investissement (csh_i), taux de dépréciation (delta), capital (cn) et production (cgdpo). Croissance de la population : ONU, World Population Prospects 2024. T. Piketty, Le Capital au XXIe siècle, 2013.
Calculatrice autorisée. Les résultats sont donnés avec leur unité et arrondis comme dans les documents ; un taux de croissance au centième de point. Les réponses rédigées sont courtes et s’appuient sur vos calculs.
Depuis le début de ses réformes économiques, en 1978, la Chine croît bien plus vite que les États-Unis. On se demande si ce rattrapage peut se poursuivre jusqu’au niveau américain, et ce qu’il faudrait pour cela.
Formules du cours, avec α = 1/3 pour les calculs : production par travailleur y = Akαh1−α, où k est le capital physique par travailleur, h l’indice de capital humain et A la productivité globale des facteurs (PGF) ; produit marginal du capital α y / k ; à l’état stationnaire du modèle de Solow sans progrès technique, y* = A1/(1−α)h (s / (n + δ))α/(1−α), où s est le taux d’investissement, n la croissance de la population et δ le taux de dépréciation du capital.
Document 1 · PIB par habitant
Dollars internationaux de 2011
1978
2000
2010
2022
Chine
1 744
4 730
9 658
19 238
États-Unis
29 286
45 886
49 267
58 487
Source Maddison Project Database 2023 (Bolt et van Zanden, 2024) : PIB par habitant en parités de pouvoir d’achat.
Document 2 · Production et facteurs de production en 2023
2023
Chine
États-Unis
Production par travailleur, milliers de dollars
41,1
149,1
Capital physique par travailleur, milliers de dollars
228,8
482,4
Capital humain, indice h
2,75
3,83
Taux d’investissement, % du PIB
42,9 %
23,1 %
Taux de dépréciation du capital, % par an
4,9 %
4,8 %
Dollars en parités de pouvoir d’achat. Le taux de dépréciation est la part du capital qui s’use ou devient obsolète chaque année.
Source Penn World Table 11.0 (Feenstra, Inklaar et Timmer), 2023 : production (cgdpo) et capital (cn) rapportés à l’emploi, indice de capital humain (hc), part de l’investissement dans le PIB (csh_i), taux de dépréciation (delta).
Document 3 · Population
Population, millions
2023
2050
2100
Chine
1 422,6
1 260,3
633,4
États-Unis
343,5
380,8
421,3
Croissance de la population en 2023 : −0,24 % en Chine, +0,58 % aux États-Unis.
Source ONU, World Population Prospects 2024 : estimations pour 2023, projections de la variante moyenne pour 2050 et 2100.
1Le rattrapage chinois5 points
1
Calculez le PIB par habitant de la Chine en % de celui des États-Unis en 1978, 2000, 2010 et 2022. (1 point)
2
Calculez le taux de croissance annuel moyen du PIB par habitant de chaque pays de 2000 à 2010, puis de 2010 à 2022. (1,5 points)
3
Calculez l’écart entre les deux pays en points de logarithme, 100 × ln(revenu américain / revenu chinois), en 2000, 2010 et 2022. De combien de points par an s’est-il réduit sur chaque période ? Retrouvez ces rythmes à partir des taux de croissance. (1,5 points)
4
À ce dernier rythme, en combien d’années la Chine atteindrait-elle le revenu par habitant des États-Unis ? Pourquoi ce calcul est-il sans doute trop optimiste ? (1 point)
2D’où vient l’écart ?5 points
5
Avec le document 2, calculez la production, le capital physique et le capital humain par travailleur de la Chine en proportion de ceux des États-Unis, puis les contributions du capital physique et du capital humain. (1,5 points)
6
Calculez la PGF de la Chine en proportion de celle des États-Unis. Que signifie ce nombre ? (1 point)
7
Répartissez l’écart de production par travailleur entre capital, capital humain et PGF, en logarithme. Comparez avec les pays qui produisent de 25 à 50 % du niveau américain, où la PGF explique 61 % de l’écart et le capital 23 %. (1,5 points)
8
Avec la PGF des États-Unis et ses propres facteurs, quelle serait la production par travailleur de la Chine, en % de celle des États-Unis ? (1 point)
3Jusqu’où mène l’accumulation ?5 points
9
Calculez le produit marginal du capital dans les deux pays. Avec la PGF et le capital humain des États-Unis, combien rapporterait un dollar de capital supplémentaire en Chine ? Pourquoi y rapporte-t-il en réalité moins qu’aux États-Unis ? (1,5 points)
10
Calculez s / (n + δ) pour chaque pays, puis la production par travailleur de la Chine à l’état stationnaire, en % de celle des États-Unis, à PGF et capital humain relatifs inchangés. Comparez avec la question 5. Que peut-on en conclure ? (2 points)
11
Par combien la production de long terme de la Chine serait-elle multipliée si son taux d’investissement passait à 50 % ? Si son capital humain rattrapait celui des États-Unis ? Si sa PGF rattrapait celle des États-Unis ? Quel levier compte le plus, et pourquoi ? (1,5 points)
4D’où viendra la croissance chinoise ?3 points
12
Sur un sentier de croissance équilibrée, la production par travailleur croît de gA / (1 − α). Pour que la PGF chinoise passe de 0,441 à 0,70 fois celle des États-Unis en 25 ans, de combien doit-elle croître chaque année plus vite que la PGF américaine ? Quel supplément de croissance de la production par travailleur cela donnerait-il ? (1,5 points)
13
La population chinoise diminue (document 3). Quel effet cette baisse a-t-elle sur la production par travailleur de l’état stationnaire ? Et sur la croissance de long terme, si les idées viennent des chercheurs ? Donnez enfin deux raisons pour lesquelles la PGF chinoise reste inférieure à celle des États-Unis. (1,5 points)
5Synthèse2 points
14
En une quinzaine de lignes, répondez à la question : la Chine rattrapera-t-elle les États-Unis ? Appuyez-vous sur vos résultats et distinguez ce que les chiffres établissent de ce qui reste incertain. (2 points)
Le revenu a été multiplié par 12 : un peu plus de trois doublements et demi en 152 ans.
b
250 / 152 = 1,64 point par an. Taux annuel moyen : (58 487 / 4 803)1/152 − 1 = 1,66 % par an.
Les deux nombres sont proches : pour une petite croissance, ln(1 + g) ≈ g. En échelle logarithmique, la pente d’une courbe se lit comme un taux de croissance.
c
100 × ln(41 321 / 1 548) = 328 points ; 328 / 62 = 5,29 points par an. Taux annuel moyen : (41 321 / 1 548)1/62 − 1 = 5,44 % par an.
L’approximation ln(1 + g) ≈ g se dégrade quand g grandit : ln 1,0544 = 0,0530. Plus la croissance est rapide, plus la pente en points de logarithme sous-estime le taux de croissance : 5,29 contre 5,44 pour la Corée du Sud, 1,64 contre 1,66 pour les États-Unis.
Les deux distances sont égales : en échelle logarithmique, des rapports égaux donnent des distances égales. Une grandeur qui croît à taux constant y suit donc une droite.
e
1870-1950 : 100 × ln(15 240 / 4 803) / 80 = 1,44 point par an ; 1950-2022 : 100 × ln(58 487 / 15 240) / 72 = 1,87 point par an.
La croissance a été un peu plus rapide après 1950, sans commune mesure avec ce que suggère l’échelle linéaire : 1 % d’un revenu de 50 000 $ représente dix fois plus de dollars que 1 % d’un revenu de 5 000 $. L’échelle logarithmique compare des rythmes, l’échelle linéaire des montants.
À retenir Écart en points de logarithme : 100 × ln(rapport). Rapporté au nombre d’années, il donne à peu près le taux de croissance annuel. En échelle logarithmique, des rapports égaux donnent des hauteurs égales.
Erreur fréquente Lire un graphique en échelle logarithmique comme un graphique linéaire : une même hauteur y signifie une même multiplication, quel que soit le niveau de départ.
Capital : 2α = 21/3 = 1,26. Capital humain : 21−α = 22/3 = 1,59. PGF : × 2.
Doubler un seul facteur rapporte moins que le double, d’autant moins que son exposant est petit : ce sont les rendements décroissants de chaque facteur. La PGF multiplie toute la production.
b
K × 2 et L × 2 : Y × 2α × 21−α = Y × 2.
Le capital par travailleur k ne change pas. Ce sont des rendements d’échelle constants : en recopiant une usine, avec ses machines et ses travailleurs, on double la production.
c
81/3 = 2 : la production double. (1/27)1/3 = 1/3 = 0,33 : elle est divisée par 3.
Huit fois plus de machines pour deux fois plus de production : chaque machine ajoutée rapporte moins que la précédente.
Le partage un tiers, deux tiers est une convention qui donne le bon ordre de grandeur : la part du capital varie selon les pays et les périodes, et les résultats du chapitre en dépendent peu.
e
1,11/3 = 1,032, soit +3,2 % ; 1,12/3 = 1,066, soit +6,6 %.
Le capital humain pèse deux fois plus dans la production (exposant 1 − α = 2/3 contre α = 1/3) : 10 % de capital humain en plus rapportent à peu près deux fois plus que 10 % de capital physique.
À retenir Avec y = Akαh1−α, multiplier un facteur par m multiplie la production par m à la puissance de son exposant : tout doubler double la production, doubler le seul capital la multiplie par 2α, soit 1,26 avec α = 1/3.
Erreur fréquente Multiplier par l’exposant au lieu d’élever à la puissance (2 × 1/3 au lieu de 21/3 = 1,26).
La Penn World Table donne 1,26 et 3,83 : les années d’études de l’énoncé sont arrondies au dixième.
b
e0,134 = 1,143 : chacune des quatre premières années d’études multiplie h par 1,143, soit +14,3 %. Ensuite, e0,101 = 1,106 et e0,068 = 1,070, soit +10,6 % et +7,0 % par année.
Chaque année multiplie l’indice par un même facteur : les gains se cumulent. Ils diminuent avec le niveau d’études, comme ceux du capital physique.
Cinq années d’études de plus augmenteraient la production d’environ moitié : beaucoup, sans combler l’écart avec les États-Unis.
e
Il compte les années passées à l’école sans mesurer ce qu’on y apprend : à nombre d’années égal, les acquis mesurés par les enquêtes internationales sont bien plus faibles dans les pays pauvres. Il ignore aussi l’expérience et la santé. La PGF étant calculée par différence, ce qui manque au capital humain mesuré se retrouve dans la PGF.
À retenirh = eφ(s) : chaque année d’études multiplie le capital humain par 1,14 (quatre premières années), 1,11 (quatre suivantes), puis 1,07. Sa contribution à l’écart de production est (h relatif)1−α, la puissance 2/3 avec α = 1/3.
Erreur fréquente Appliquer 0,134 à toutes les années d’études (0,134 × 13,9 = 1,863 pour les États-Unis) : les rendements diminuent avec le niveau d’études.
À l’état stationnaire, le capital vaut 4 années de production : l’investissement remplace juste le capital usé et équipe les nouveaux travailleurs. Aux États-Unis, le capital vaut 3,2 années de production (2023).
Il faut équiper chaque année davantage de nouveaux travailleurs : une plus grande part de l’investissement sert à maintenir le capital par travailleur, qui se stabilise plus bas.
e
L’investissement, 0,24 × kα, croît moins vite que k (rendements décroissants), alors que l’usure et la dilution, 0,06 × k, lui sont proportionnelles. Au-delà de k* = 8, elles dépassent l’investissement et le capital diminue ; en dessous, il augmente. L’économie tend vers son état stationnaire.
Pour vérifier À l’état stationnaire, Δk = 0 : l’investissement égale l’usure plus la dilution.
À retenir Δk = sy − (n + δ) k. À l’état stationnaire, sy* = (n + δ) k*, donc k*/y* = s / (n + δ) ; avec y = Akα, k* = (sA / (n + δ))1/(1−α), la puissance 3/2 avec α = 1/3.
Erreur fréquente Oublier la dilution nk : quand la population croît, une partie de l’investissement sert seulement à équiper les nouveaux travailleurs.
La Corée du Sud et le Botswana rattrapent les États-Unis ; le Ghana et surtout le Niger décrochent. Le revenu du Niger a même baissé : 1 008 / 1 213 − 1 = −17 %.
Le niveau relatif du Botswana a été multiplié par 9 pendant que le revenu américain l’était par 3,24 : 9 × 3,24 ≈ 29. L’écart entre 29,3 et 29,0 vient de l’arrondi de 3,1 % (3,12 % sans arrondi).
e
41 321 / 4 242 = 9,74 : il faut 1,0107T = 9,74, soit T = ln 9,74 / ln 1,0107 = 214 ans.
Avec la règle des 70 : 9,74 correspond à ln 9,74 / ln 2 = 3,28 doublements (23,28 = 9,71) de 65 ans chacun : 3,28 × 65 = 213 ans. Quelques points de croissance par an, maintenus pendant des décennies, séparent un pays qui rattrape d’un pays qui décroche.
À retenir Taux annuel moyen : (rapport)1/T − 1 ; temps de doublement : 70 / taux en pour cent. Le niveau relatif d’un pays progresse quand il croît plus vite que le pays de référence.
Erreur fréquente Prendre la hausse d’un niveau relatif pour celle du revenu : de 3,1 % à 28,0 % du niveau américain, le niveau relatif du Botswana est multiplié par 9 ; son revenu, par 29, puisque le revenu américain a lui-même triplé.
Parts : capital 0,611 / 2,048 = 30 % ; capital humain 0,347 / 2,048 = 17 % ; PGF 1,091 / 2,048 = 53 %.
La PGF explique plus de la moitié de l’écart, le capital un peu moins d’un tiers, le capital humain le reste.
d
Elle a plus de capital par travailleur que les États-Unis (109 %) et autant de capital humain : les deux contributions dépassent 1. Tout l’écart de production, et même un peu plus, vient de la PGF (0,66). L’accumulation a porté la Corée du Sud au niveau américain de capital, sans lui donner le niveau américain de production.
e
Inde : 0,543 × 0,707 = 0,384, soit 38 % ; Corée du Sud : 1,028 × 1,007 = 1,035, soit 104 %.
Avec la PGF américaine, l’Inde resterait loin des États-Unis, faute de capital et de capital humain ; la Corée du Sud les dépasserait. Ce calcul garde le capital inchangé : dans le modèle de Solow, une PGF plus élevée attirerait aussi du capital (partie 3).
Pour vérifier Les trois parts de l’écart font 100 %, aux arrondis près.
À retenir Contribution du capital : (k relatif)α ; du capital humain : (h relatif)1−α ; PGF relative = y relatif / produit des contributions. En logarithme, les parts de l’écart s’additionnent.
Erreur fréquente Oublier les exposants : avec 0,129 / (0,160 × 0,595) = 1,36, l’Inde aurait une PGF plus élevée que celle des États-Unis.
Avec la PGF et le capital humain du Niger, chaque machine produit dix fois moins qu’avec ceux des États-Unis. Le capital y est rare, mais il y rapporte peu : la technologie, l’organisation et l’éducation qui le rendraient productif manquent aussi.
e
Ils se précipiteraient vers le Niger et les autres pays pauvres. En réalité, ils circulent surtout entre pays riches : c’est le paradoxe posé par Robert Lucas (1990). La question d en donne l’essentiel de la réponse : une faible PGF et un faible capital humain réduisent ce que rapporte une machine. Les risques d’expropriation et d’instabilité diminuent encore le rendement attendu.
f
Produit marginal du travail = (1 − α) y, avec 1 − α = ⅔. États-Unis : ⅔ × 149,1 = 99,4 milliers de dollars par an ; Niger : ⅔ × 4,8 = 3,2 ; rapport : 99,4 / 3,2 = 31.
Payé à son produit marginal, un travailleur moyen gagnerait une trentaine de fois plus aux États-Unis qu’au Niger : puisque PML = (1 − α) y dans les deux pays, le rapport des salaires est celui des productions par travailleur. Le travail rapporte bien plus dans le pays riche, où il dispose de plus de capital et d’une PGF plus élevée, et où il est plus formé ; le capital, lui, rapporte à peu près autant dans les deux pays (question a). Les travailleurs ont donc intérêt à migrer vers les pays riches, alors que les capitaux ne se précipitent pas vers les pays pauvres.
À retenir Produit marginal du capital : α y / k ; du travail : (1 − α) y. À PGF et capital humain égaux, le premier varie comme kα−1 ; mesuré, il est du même ordre dans les pays riches et dans les pays pauvres, alors que le second est bien plus élevé dans les pays riches.
Erreur fréquente Comparer des produits marginaux à technologie égale alors que la PGF et le capital humain diffèrent : on conclut à tort que le capital rapporte dix fois plus dans les pays pauvres.
PIB : (72,35 / 17,01)1/74 − 1 = 1,98 % par an ; capital : (234,35 / 70,55)1/74 − 1 = 1,64 % par an.
Capital / production : 70,55 / 17,01 = 4,15 en 1950 ; 234,35 / 72,35 = 3,24 en 2024.
Production et capital croissent à des rythmes voisins depuis trois quarts de siècle ; le rapport capital / production a varié entre 3,2 et 4,1 années. Le sentier de croissance équilibrée décrit ces données à peu près.
b
gA = gy × (1 − α) = 2 × (1 − 1/3) = 1,33 % par an.
La production et le capital croissent alors tous deux de 2 % par an : leur rapport reste constant.
c
Elle tend vers zéro. Sans progrès technique, l’accumulation se heurte aux rendements décroissants : chaque unité de capital ajoutée rapporte moins, jusqu’à ce que l’investissement ne fasse plus que compenser l’usure et la dilution (état stationnaire). Une épargne plus forte relève le niveau atteint, sans relancer durablement la croissance.
d
K et L × 2 : 2α × 21−α = 2. A, K et L × 2 : 2 × 2 = 4.
Une idée (un procédé, une formule, un logiciel) est non rivale : elle peut servir à toutes les usines en même temps, sans s’user. Quand on compte les idées parmi les facteurs, les rendements d’échelle deviennent croissants : c’est la source d’une croissance qui ne s’arrête pas.
e
1,015100 = 4,43 : l’intensité doit être divisée par 4,43, soit 1 / 1,015 − 1 = −1,48 % par an.
Avec −2,7 % par an : 1,015 × (1 − 0,027) − 1 = −1,24 % par an, à peu près 1,5 − 2,7 = −1,2.
Les émissions baisseraient, lentement. Une croissance durable est compatible avec des ressources finies si l’intensité en ressources baisse au moins aussi vite que le PIB croît ; rien ne garantit qu’elle baisse assez vite.
À retenir Sans progrès technique, la croissance s’arrête ; sur le sentier équilibré, y et k croissent au rythme gA / (1 − α), soit 1,5 gA avec α = 1/3. Les idées, non rivales, rendent les rendements d’échelle croissants.
Erreur fréquente Attribuer la croissance de long terme à l’épargne : elle relève le niveau du sentier, et seul le progrès technique en fixe la pente.
Corrigé de l’exercice 9 · niveau 3, raisonner sur données réelles
Le Niger peut-il s’enrichir en épargnant davantage ?
(0,19 / 0,073) / (0,23 / 0,046) = 2,60 / 5,00 = 0,52 ; racine : 0,521/2 = 0,72, soit 72 % du niveau américain.
L’épargne et la démographie n’expliquent qu’un écart de 1 à 1,4 ; l’écart observé, à 3,3 % du niveau américain, est d’environ 1 à 30. L’essentiel vient d’ailleurs.
b
(0,30 / 0,19)1/2 = 1,581/2 = 1,26.
La production de long terme augmente de 26 %. La croissance est plus forte pendant la transition, puis revient à son rythme de long terme, fixé par le progrès technique : l’épargne a un effet de niveau, sans effet durable sur la croissance.
Les deux changements réunis augmenteraient la production de long terme de moitié : le Niger passerait de 3,3 % à environ 5 % du niveau américain.
d
21/(1−α) = 23/2 = 2,83.
La PGF agit deux fois : elle augmente directement la production (× 2), et elle attire du capital, puisque k* augmente avec A (× 2α/(1−α) = 21/2 = 1,41 de production en plus).
e
Exemple de réponse : « En partie seulement. Selon le modèle de Solow, porter l’investissement de 19 % à 30 % augmenterait la production de long terme de 26 %, et un ralentissement démographique à 1 % par an l’augmenterait encore de 21 % : le Niger passerait de 3,3 % à environ 5 % du niveau américain. Ce serait un effet de niveau : la croissance ne serait plus forte que pendant la transition. À PGF égale, l’épargne et la démographie n’expliqueraient qu’un écart de 1 à 1,4 avec les États-Unis, pour un écart observé d’environ 1 à 30. L’essentiel tient à la PGF, environ cinq fois plus faible : la diffusion des technologies, l’allocation des ressources et les institutions comptent davantage que l’épargne. »
Pour vérifier Les résultats des questions b à d sont des facteurs supérieurs à 1, qui multiplient la production de long terme.
À retenir Dans le modèle de Solow, l’épargne et la croissance de la population fixent le niveau de long terme, qui varie comme (s / (n + δ))α/(1−α), la racine carrée avec α = 1/3 ; la PGF pèse bien davantage, à la puissance 1/(1 − α), soit 3/2.
Erreur fréquente Croire qu’un taux d’épargne plus élevé augmente durablement la croissance : il relève le niveau de long terme, puis la croissance revient à son rythme.
Corrigé de l’exercice 10 · niveau 3, raisonner sur données réelles
Oui, dans l’ensemble : le Portugal, la Grèce et l’Espagne, les plus pauvres en 1960, ont crû de 2,64 à 3,14 % par an ; la France, le Royaume-Uni et les États-Unis, les plus riches, de 1,67 à 1,95 %. La relation n’est pas parfaite : la Grèce, un peu plus riche que le Portugal en 1960, a crû moins vite que lui, et les États-Unis plus vite que le Royaume-Uni, pourtant plus pauvre.
L’écart a été divisé par deux en soixante ans : le Portugal a rattrapé une bonne partie de son retard.
c
Deux fois plus pauvre : un revenu plus faible de ln 2 = 0,693 en logarithme, donc 0,95 × 0,693 = 0,66 point de croissance en plus par an. Quatre fois : 0,95 × 1,386 = 1,32 point.
Sur soixante ans, un tel écart de croissance réduit beaucoup les écarts de revenu, comme pour le Portugal.
d
1960-2000 : 0,42 × 0,693 = 0,29 point de croissance en moins par an pour un pays deux fois plus pauvre. 2000-2022 : 0,26 × 0,693 = 0,18 point en plus.
Dans le monde, les pays pauvres n’ont pas rattrapé les pays riches de 1960 à 2000 : ils ont plutôt divergé. Depuis 2000, un léger rattrapage apparaît, avec une très forte dispersion. Il n’y a pas de convergence absolue sur l’ensemble de la période.
e
ln 2 / 0,0018 = 385 ans, ou 70 / 0,18 = 389 ans avec la règle des 70.
Un tel rattrapage est bien trop lent pour combler les écarts actuels : il y faut des écarts de croissance de plusieurs points par an, comme ceux de la Corée du Sud.
f
Il prédit une convergence conditionnelle : chaque pays tend vers son propre état stationnaire, fixé par son épargne, sa démographie et sa PGF, et croît d’autant plus vite qu’il en est loin. Les membres fondateurs de l’OCDE ont des institutions et des technologies proches, donc des états stationnaires voisins : les plus pauvres rattrapent. Dans le monde, les états stationnaires diffèrent beaucoup : un pays pauvre peut être proche du sien et croître lentement.
À retenir Convergence absolue : les pays pauvres croissent plus vite que les riches. Convergence conditionnelle : un pays croît d’autant plus vite qu’il est loin de son propre état stationnaire. Une pente de −b signifie qu’un pays deux fois plus pauvre croît de b × 0,693 point de plus par an.
Erreur fréquente Conclure que le modèle de Solow est faux parce que les pays pauvres ne rattrapent pas tous : il ne prédit qu’une convergence conditionnelle.
Corrigé de l’exercice 11 · niveau 3, raisonner sur données réelles
Haïti et la République dominicaine, partis du même point
République dominicaine : (17 714 / 1 637)1/72 − 1 = 3,36 % par an ; Haïti : (1 546 / 1 790)1/72 − 1 = −0,20 % par an.
Rapport : 1 637 / 1 790 = 0,91 en 1950 ; 17 714 / 1 546 = 11,5 en 2022. Haïti au rythme dominicain : 1 790 × 17 714 / 1 637 = 19 370 $.
En 1950, Haïti était un peu plus riche que son voisin ; en 2022, la République dominicaine l’est 11,5 fois plus. Au rythme dominicain, le revenu haïtien serait en 2022 supérieur à celui de la République dominicaine.
b
Production : 48,0 / 7,4 = 6,49 ; capital : 248,2 / 98,7 = 2,515 ; capital humain : 2,93 / 1,80 = 1,628.
Avec les mêmes facteurs, la République dominicaine produirait 3,45 fois plus qu’Haïti. L’écart de production par travailleur mesuré par la Penn World Table (6,49) est plus faible que l’écart de revenu par habitant de Maddison (11,5) : autre mesure, autres prix de référence. La Penn World Table situe l’écart de revenu par habitant à 7,6 ou 7,8 en 2023, selon la mesure. Les sources divergent sur l’ampleur de l’écart ; toutes le situent entre 6 et 12.
Parts : capital 0,307 / 1,870 = 16,4 % ; capital humain 0,325 / 1,870 = 17,4 % ; PGF 1,238 / 1,870 = 66,2 %.
Les deux tiers de l’écart viennent de la PGF, comme pour la plupart des écarts entre pays riches et pauvres.
d
La géographie et le climat, très proches dans les deux pays, ne peuvent guère expliquer un écart de cette ampleur. Les causes avancées relèvent surtout des institutions et des politiques : instabilité politique et coups d’État, embargo, insécurité des droits de propriété, qui découragent l’investissement et l’adoption des technologies ; s’y ajoutent une diffusion plus lente des technologies et une mauvaise allocation des ressources.
e
Exemple de réponse : « Deux pays d’une même île, partis en 1950 de revenus voisins, ont aujourd’hui des revenus dans un rapport de 1 à 11,5. Selon la Penn World Table, les deux tiers de l’écart de production par travailleur viennent de la PGF. La géographie, très proche, en explique peu ; les institutions et les politiques, beaucoup. L’exemple illustre la réponse du chapitre : un pays est pauvre surtout parce qu’il utilise mal ce dont il dispose. Ses limites : Haïti était déjà en retard pour la santé et l’éducation en 1960 ; la Penn World Table situe l’écart de départ entre 1,5 et 2,1, au lieu de 1,15 chez Maddison ; et les deux pays diffèrent par bien d’autres traits que leurs institutions. »
Pour vérifier Les trois parts de l’écart font 100 %, aux arrondis près.
À retenir Sur la même île, avec une géographie proche, l’écart de revenu vient surtout de la PGF : la comptabilité du développement situe l’écart, les institutions et les politiques en donnent une partie des causes.
Erreur fréquente Attribuer l’écart à la géographie ou au climat, très proches dans les deux pays.
Corrigé de l’exercice 12 · niveau 4, aller plus loin
En prenant le logarithme de (1 + g)T = 2 : T × ln(1 + g) = ln 2, d’où T = ln 2 / ln(1 + g).
ln 2 / ln 1,01 = 69,7 ans ; ln 2 / ln 1,02 = 35,0 ans ; ln 2 / ln 1,07 = 10,2 ans ; ln 2 / ln 1,10 = 7,3 ans.
b
Pour un petit taux, ln(1 + g) ≈ g, donc T ≈ 0,693 / g, soit 69,3 / g avec g en pour cent : 70 arrondit 100 × ln 2 = 69,3 et se divise facilement.
70 / 1 = 70 ans, pour 69,7 ; 70 / 2 = 35 ans, pour 35,0 ; 70 / 7 = 10 ans, pour 10,2 ; 70 / 10 = 7 ans, pour 7,3.
La règle est presque exacte autour de 2 %. Elle se trompe le plus aux taux élevés, où ln(1 + g) devient nettement inférieur à g (ln 1,10 = 0,0953 au lieu de 0,10) : elle annonce alors un doublement trop rapide.
c
ln 2 / ln 1,08 = 9,01 ans ; 9,01 × 8 = 72,1.
Autour de 8 %, 72 divisé par le taux donne le temps exact : la « règle des 72 » corrige la sous-estimation de la règle des 70 aux taux élevés. 72 a aussi davantage de diviseurs (2, 3, 4, 6, 8, 9, 12).
d
1,0730 = 7,61.
Doublements : 30 / 10,2 = 2,9, et 22,9 = 7,5. Avec la règle des 70, 30 / 10 = 3 doublements, soit × 8 : le bon ordre de grandeur, un peu surestimé.
À retenirT = ln 2 / ln(1 + g) ; avec ln(1 + g) ≈ g, T ≈ 69,3 / g (g en %), arrondi à 70 / g. L’approximation se dégrade aux taux élevés, où 72 / g est plus précis.
Erreur fréquente Appliquer la règle à des taux très élevés : à 50 % par an, 70 / 50 = 1,4 an, alors que le revenu double en ln 2 / ln 1,5 = 1,7 an.
Corrigé de l’exercice 13 · niveau 4, aller plus loin
La production de long terme augmente avec l’épargne ; la consommation est la plus élevée pour un tiers, et plus faible à 50 % qu’à 20 %.
b
Épargner davantage augmente le capital et la production de long terme, mais de moins en moins (y* varie comme sα/(1−α), la racine carrée de s avec α = 1/3, à cause des rendements décroissants), alors que la part consommée, 1 − s, diminue d’autant. Au-delà d’un certain point, le supplément de production ne compense plus ce que l’on cesse de consommer : il sert surtout à entretenir un capital plus grand.
c
ln c* = ln(1 − s) + α / (1 − α) × [ln s − ln(n + δ)]. Sa dérivée par rapport à s, −1 / (1 − s) + α / ((1 − α) s), s’annule pour α (1 − s) = (1 − α) s, soit s = α ; elle est positive avant, négative après : c’est un maximum. La règle d’or égale la part du capital dans le revenu : un tiers avec α = 1/3.
d
En général, le produit marginal du capital de l’état stationnaire vaut α y*/k* = α (n + δ) / s : il est égal à n + δ quand s = α.
Avec α = 1/3 : k*/y* = s / (n + δ) = ⅓ / 0,06 = 5,56 ; produit marginal = α y*/k* = ⅓ / 5,56 = 0,06, soit 6 %, égal à n + δ.
À la règle d’or, un dollar de capital en plus rapporte chaque année exactement ce qu’il coûte à entretenir : remplacer l’usure et équiper les nouveaux travailleurs. Au-delà, il rapporterait moins que ce coût : en épargnant moins, on consommerait davantage, aujourd’hui comme à long terme.
e
Avec α = 1/3, la règle d’or recommande un tiers : à 43 %, la Chine épargnerait trop. Avec sa propre part du capital, 44 %, la règle d’or est de 44 %, très proche du taux observé. Réserves : la règle d’or compare des états stationnaires, alors que la Chine est encore en transition ; avec du progrès technique, elle s’écrit produit marginal = n + g + δ ; enfin, elle ne dit rien de la qualité des investissements.
À retenir Épargner davantage augmente la production de long terme, pas toujours la consommation : celle-ci est la plus élevée quand le taux d’épargne égale la part du capital (règle d’or), où le produit marginal du capital vaut n + δ.
Erreur fréquente Croire qu’un pays qui épargne davantage vit forcément mieux à long terme : au-delà de la règle d’or, il produit plus mais consomme moins.
Corrigé de l’exercice 14 · niveau 4, aller plus loin
(50 − 4,2) / 62 = 0,74 point de croissance en plus par an, en moyenne.
c
Au bout de T années, l’écart vaut x0 e−λT : le pays a rattrapé x0 (1 − e−λT) points sur son état stationnaire, soit x0 (1 − e−λT) / T points par an. Avec un même état stationnaire pour tous, un revenu initial plus élevé de 1 en logarithme, soit 100 points, réduit d’autant l’écart initial : la croissance moyenne baisse de 100 × (1 − e−λT) / T points par an. C’est la pente de la droite de convergence, au signe près.
Il faut (1 − e−62 λ) / 62 = 0,0095, donc e−62 λ = 1 − 62 × 0,0095 = 0,411 et λ = −ln 0,411 / 62 = 0,0143, soit 1,4 % par an. Demi-vie : ln 2 / 0,0143 = 48 ans.
Les membres fondateurs de l’OCDE ont comblé leurs écarts bien plus lentement que ne le prédit le modèle avec α = 1/3 : une demi-vie d’environ 48 ans au lieu de 17.
e
λ = (1 − 2/3) × 0,06 = 0,02, soit 2 % par an ; demi-vie : ln 2 / 0,02 = 35 ans.
Avec un capital au sens large, les rendements décroissent moins vite et la convergence ralentit : la vitesse prédite se rapproche de celle que l’on observe, de l’ordre de 2 % par an dans les études classiques (Barro et Sala-i-Martin, 1992 ; Mankiw, Romer et Weil, 1992). Une partie de l’écart restant tient à des états stationnaires qui diffèrent, même entre membres de l’OCDE.
À retenir Dans le modèle de Solow, l’écart à l’état stationnaire se réduit de λ = (1 − α)(n + δ) par an, avec une demi-vie de ln 2 / λ. Observée, la convergence est plus lente : de l’ordre de 1,5 à 2 % par an, soit 35 à 50 ans de demi-vie.
Erreur fréquente Lire la pente d’une droite de convergence comme la vitesse de convergence : sur une longue période, la pente est plus faible que λ, parce que l’écart se réduit en route.
Corrigé de l’exercice 15 · niveau 4, aller plus loin
Parts : capital 0,324 / 1,228 = 26 % ; capital humain 0,196 / 1,228 = 16 % ; PGF 0,707 / 1,228 = 58 %.
b
On divise y = Akαh1−α par yα : y1−α = A (k / y)αh1−α. En élevant les deux membres à la puissance 1/(1 − α) : y = A1/(1−α) (k / y)α/(1−α)h. Avec α = 1/3, les exposants valent 3/2 et 1/2.
Dans la première écriture, une partie de l’écart de capital est elle-même due à la faible PGF : dans le modèle de Solow, le capital de l’état stationnaire augmente avec la PGF (k* varie comme A1/(1−α), A3/2 avec α = 1/3). La seconde attribue à la PGF le capital qu’elle attire, car le rapport k*/y* ne dépend que de l’épargne et de la démographie. Le Mexique a même un rapport capital / production plus élevé que les États-Unis : le capital y réduit l’écart, d’où sa part négative.
Pour les pays sous 50 % du niveau américain, la PGF explique ainsi de 75 à 92 % de l’écart, au lieu de 50 à 61 % (cours complet, approfondissement « Hall et Jones »).
À reteniry = A1/(1−α) (k / y)α/(1−α)h : en mesurant le capital par rapport à la production, on attribue à la PGF le capital qu’elle attire. Sa part dans les écarts passe d’environ la moitié aux trois quarts ou plus.
Erreur fréquente Croire qu’une décomposition est unique : la part de chaque facteur dépend de la façon d’écrire la fonction de production, sans que les données changent.
Corrigé de l’exercice 16 · niveau 4, aller plus loin
Pourquoi le capital vaut-il environ trois années de production ?
Sans croissance, la formule annonce plus de quatre années de production ; avec 1,5 % de croissance par an, 3,36, proche des 3,24 observés. Une épargne d’environ un quart de la production sert à remplacer l’usure et à suivre la croissance de la production : elle entretient un capital d’environ trois années de production.
c
g = s / (K / Y) − n − δ = 0,231 / 3,24 − 0,0058 − 0,048 = 0,0713 − 0,0538 = 0,0175, soit 1,75 % par an.
C’est l’ordre de grandeur de la croissance de long terme des États-Unis : environ 1,7 % par an pour le PIB par habitant depuis 1870.
À taux d’épargne inchangé, une croissance plus lente fait monter le rapport capital / production : l’épargne n’a plus à suivre une production qui augmente vite, et le capital s’accumule par rapport à elle. Thomas Piketty (2013) en tire, pour le patrimoine, le rapport de long terme β = épargne nette / croissance.
À retenir Sur un sentier de croissance équilibrée, K / Y = s / (n + g + δ) : environ 3 pour un pays riche, avec une épargne d’un quart de la production et n + g + δ ≈ 7 %. Plus la croissance est lente, plus le capital est élevé par rapport à la production.
Erreur fréquente Oublier la croissance g : sans elle, la formule de l’état stationnaire, s / (n + δ), donne plus de quatre années de production aux États-Unis.
En logarithme, l’écart se réduit chaque année de la différence entre les deux croissances : les écarts en logarithme s’additionnent.
4
1 point
111 / 4,3 = 26 ans : la Chine rejoindrait le niveau américain vers 2048.
Ce calcul prolonge un rythme qui ralentit déjà : l’écart de croissance est passé de 6,7 à 4,5 points par an. Dans le modèle de Solow, un pays croît d’autant moins vite qu’il est proche de son état stationnaire ; la suite du problème montre que la Chine en est déjà proche, à PGF inchangée.
2D’où vient l’écart ?
5
1,5 points
Production : 41,1 / 149,1 = 0,276 ; capital : 228,8 / 482,4 = 0,474 ; capital humain : 2,75 / 3,83 = 0,718.
Par travailleur, la Chine produit 28 % de ce que produisent les États-Unis, moins que son revenu par habitant relatif du document 1 (33 %) : la Chine compte plus de travailleurs par habitant, et les deux sources n’utilisent pas les mêmes prix de référence.
6
1 point
PGF : 0,276 / (0,780 × 0,802) = 0,441.
Avec les mêmes quantités de capital et de capital humain par travailleur, la Chine produirait 44 % de ce que produisent les États-Unis : elle combine ses facteurs bien moins efficacement.
Parts : capital 0,248 / 1,287 = 19 % ; capital humain 0,221 / 1,287 = 17 % ; PGF 0,819 / 1,287 = 64 %.
Près des deux tiers de l’écart viennent de la PGF, un peu plus que dans les pays de même niveau ; l’écart de capital y pèse un peu moins (19 % contre 23 %) : la Chine a beaucoup investi.
8
1 point
0,780 × 0,802 = 0,626, soit 63 %.
Même avec l’efficacité américaine, la Chine resterait à moins des deux tiers du niveau américain, faute de capital et de capital humain : les deux comptent, la PGF davantage.
Le capital est plus rare en Chine, mais une PGF et un capital humain plus faibles réduisent ce que rapporte chaque machine : un dollar de capital y rapporte environ 40 % de moins qu’aux États-Unis. Investir toujours davantage y rapporte de moins en moins.
9,21 / 4,29 = 2,15 ; 2,151/2 = 1,47 ; 0,4413/2 = 0,293 ; production relative de long terme : 0,293 × 0,718 × 1,47 = 0,309, soit 30,9 %.
La Chine est à 27,6 % du niveau américain par travailleur : à PGF et capital humain inchangés, elle est déjà proche de son état stationnaire relatif. L’accumulation ne lui ferait gagner que 0,309 / 0,276 = 1,12, soit 12 % de production relative en plus. Ce modèle sans progrès technique exagère le rapport capital / production des deux pays (exercice 16), mais l’ordre de grandeur suffit : le capital ne comblera pas l’écart.
Barème : 1 point pour les deux rapports et la production de long terme, 1 point pour la comparaison et la conclusion.
La PGF compte bien davantage : elle augmente directement la production et attire du capital (exposant 1/(1 − α) = 3/2), alors que l’épargne n’agit que par le capital, dont les rendements décroissent (exposant α/(1 − α) = 1/2). Avec la PGF et le capital humain américains, la Chine dépasserait même les États-Unis par travailleur : 0,309 × 1,39 × 3,41 = 1,46, grâce à son épargne élevée et à une population qui ne croît plus.
4D’où viendra la croissance chinoise ?
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1,5 points
(0,70 / 0,441)1/25 − 1 = 1,87 % par an ; production par travailleur : 1,5 × 1,87 = 2,8 points par an de plus qu’aux États-Unis.
Un tel écart, maintenu un quart de siècle, suppose que la Chine continue d’adopter rapidement les technologies existantes, d’en produire de nouvelles et de mieux répartir son capital et son travail.
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1,5 points
Croissance de la population : (1 260,3 / 1 422,6)1/27 − 1 = −0,45 % par an de 2023 à 2050 ; (633,4 / 1 260,3)1/50 − 1 = −1,37 % par an de 2050 à 2100.
Avec n = −0,45 % : n + δ = 4,9 − 0,45 = 4,45 % ; (0,0466 / 0,0445)1/2 = × 1,02.
Une population qui diminue réduit la dilution du capital : la production de long terme augmente un peu, de 2 %. Mais si les idées viennent des chercheurs, une population plus petite compte moins de chercheurs et, à effort de recherche inchangé, produit moins d’idées : la croissance de long terme ralentirait (Jones, 2022).
Raisons possibles : une diffusion encore incomplète des technologies ; une mauvaise allocation du capital et du travail (Hsieh et Klenow, 2009, estiment qu’une allocation aussi efficace qu’aux États-Unis augmenterait de 30 à 50 % la productivité de l’industrie chinoise) ; des institutions qui protègent moins la propriété et favorisent les entreprises publiques.
Barème : 0,5 point pour l’effet sur l’état stationnaire, 0,5 point pour l’effet sur les idées, 0,5 point pour deux raisons argumentées.
5Synthèse
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2 points
Attendus : une réponse structurée, qui cite au moins trois résultats chiffrés et sépare ce qui est établi de ce qui reste incertain. 1 point pour les constats chiffrés, 1 point pour cette distinction.
Exemple de réponse : « La Chine a rattrapé une grande partie de son retard : son revenu par habitant est passé de 6 % à 33 % du niveau américain depuis 1978, et l’écart se réduit encore de 4,3 points de logarithme par an. À ce rythme, elle rejoindrait les États-Unis vers 2048. Ce prolongement est fragile. Près des deux tiers de l’écart de production par travailleur viennent de la PGF ; le capital, accumulé à un rythme exceptionnel (43 % du PIB investi), rapporte déjà moins qu’aux États-Unis (6 % contre 10 % par an). Dans le modèle de Solow, à PGF et capital humain inchangés, l’accumulation ne porterait la Chine qu’à 31 % du niveau américain par travailleur, contre 28 % aujourd’hui. Le rattrapage dépend donc de la PGF : pour atteindre 70 % de la PGF américaine en 25 ans, il faudrait qu’elle croisse de 1,9 point par an de plus qu’aux États-Unis. Les chiffres établissent ces ordres de grandeur. Restent incertaines la capacité de la Chine à mieux répartir son capital, à réformer ses institutions et à produire des idées alors que sa population diminue. »